各位老铁们好，相信很多人对泰勒中值定理都不是特别的了解，因此呢，今天就来为大家分享下关于泰勒中值定理以及怎样证明泰勒中值定理的问题知识，还望可以帮助大家，解决大家的一些困惑，下面一起来看看吧！
怎样证明泰勒中值定理
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0
f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0
即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。
能不能解释一下泰勒中值定理
泰勒中值定理，是高等数学中的一项定理。
函数介绍
如果函数在含有的某个开区间
内具有直到阶的导数，且在闭区间
上连续，则对任的
，至少存在一点
介于与之间，使得
阶泰勒公式
成立，
其中
（拉格朗日型余项）或
（佩亚诺型余项）。
当
时，即为拉格朗日中值定理；当
时，称为麦克劳林公式。
关于高数书上泰勒中值定理的证明过程。
上一页假设了f（x0）和p（x0）相等，且直到n+1阶导数，它们的导数也相等。
而R（x）=f（x）-p（x），所以就有了这个结论。
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