泰勒中值定理(怎样证明泰勒中值定理)

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怎样证明泰勒中值定理

泰勒中值定理(怎样证明泰勒中值定理)

证明:我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α(根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0

f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx),其中误差α是在limΔx→0

即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确;于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式:

P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n

来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.);P'(x.)=A1,A1=f'(x.);P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此,多项的各项系数都已求出,得:P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n.

接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注:(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间;继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间;连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!,这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1)(x)=0,于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得,余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。

能不能解释一下泰勒中值定理

泰勒中值定理,是高等数学中的一项定理。

函数介绍

如果函数在含有的某个开区间

内具有直到阶的导数,且在闭区间

上连续,则对任的

,至少存在一点

介于与之间,使得

阶泰勒公式

成立,

其中

(拉格朗日型余项)或

(佩亚诺型余项)。

时,即为拉格朗日中值定理;当

时,称为麦克劳林公式。

关于高数书上泰勒中值定理的证明过程。

上一页假设了f(x0)和p(x0)相等,且直到n+1阶导数,它们的导数也相等。

而R(x)=f(x)-p(x),所以就有了这个结论。

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