三角形中位线定理5种证明方法
中位线的三种证明方法：第一种：取底边的中点，就是把底边分成两份，证明其中的一份与中位线相等。第二种：补，把中位线延长加倍，证明与底边相等。第三种：过其中一个中点作底边的平行线，证明与已知中位线重合。
中位线的定义：
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。
其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。
但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。其逆定理正确与否与上相仿。
三角形中位线的4种证明方法。
方法一：过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE（A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立。
方法二：相似法：
∵D是AB中点
∴AD：AB=1：2
∵E是AC中点
∴AE：AC=1:2
又∵∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
∴AD：AB=AE：AC=DE：BC=1：2
∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴BC=2DE,BC∥DE
方法三、坐标法：
设三角形三点分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）
则一条边长为：根号（x2-x1）^2+(y2-y1）^2
另两边中点为（（x1+x3）/2，（y1+y3）/2），和（(x2+x3）/2，（y2+y3）/2）
这两中点距离为：根号（（x2+x3）/2-(x1+x3）/2）^2+((y2+y3）/2-(y1+y3）/2）^2
最后化简时将x3，y3消掉正好中位线长为其对应边长的一半。
方法四、延长法：
延长DE到点G，使EG=DE，连接CG
∵点E是AC中点
∴AE=CE
∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE
∴△ADE≌△CGE(S.A.S)
∴AD=CG、∠G=∠ADE
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
∵点D在边AB上
∴DB∥CG
∴BCGD是平行四边形
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立。
三角形中位线的妙用：
初等平面几何中，有关三角形中位线的定理：“三角形的中位线平行于底边，且等于底边的一半。”及“过三角线一边的中点且平行于另一边的直线必过第三边的中点。”在几何题的证明中应用十分广泛。
其原因是由于定理中有平行线出现，这样就产生了同位角、内错角、同旁内角等许多角之间的等量关系，又由于中位线等干底边的一半。并且平分两腰，这样就出现了线段之间的等量关系。
更主要的是定理将角的等量关系与线段的等量关系有机地联系在一起，因此这个定理在几何题的证明中，特别是在证明两直线平行或线段的等量关系或角的等量关系中，起着独特的作用，有时甚至非它莫许。
以上内容参考百度百科－三角形中位线
三角形中位线的判定定理
在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
特点：若在一个三角形中，一条线段是平行于一条边，且等于平行边的一半（这条线段的端点必须是交于另外两条边上的中点），这条线段就是这个三角形的中位线。
扩展资料：
例：AD是△ABC的外接圆⊙o的直径(D点不与BC点重合)，过D作⊙o的切线交BC于P，连线OP交AB、AC于M、N，求证OM=ON。
分析：从题目所给的条件与所要证明的结论来看，没有明显的联系，为此需要添加辅助线，勾通条件与结论的联系。
鉴于M、N分别在AB、AC边上的一般位置。若过B点作BE//MN分别交AC、AD于E、F，则证明OM=ON就可转化为证明BF=EF，也即是要证明F为BE的中点，这时B点在⊙o上，和题设条件有了明显的联系。在△BCE中BC是⊙o的弦。取BC的中点G，如果能证明FG是△BCE的中位线，问题就解决了、因此只须要证明FG//CE就行了。而要证明这一点是非常容易的事情。
证明：因OD⊥PD、OG⊥BC、
故O、P、D、G四点共圆
从而∠FDG=∠OPG
又因BE//OP，故∠OPC=∠FBG
所以∠FDG=∠FBG
因此B、D、G、F四点共圆
所以∠FGB=∠FDB(或∠FGB一兀一∠FDB)
又因为∠FDB=∠ACB(或∠ACB一∠兀一FDB)
所以∠FGB=∠ACB，从而FG//CE
而G为BC的中点，由中位线定理，可知
F是BE的中点，即BF=EF
由于FB分之OM=AF分之AO=FE分之ON
所以OM=ON